Yazan : Şadi Evren ŞEKER
Bir serinin elemanlarının toplamını ifade etmek için kullanılan matematiksel işlemin ismidir. Basitçe bir seri ve bu serinin (sequence) bütün elemanlarının toplamını bulmak hedeflenir. Matematiksel olarak Σ sembolü ile gösterilir.
Toplamlar yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere sigma işaretinin altına başlangıç değeri, üstüne bitiş değeri ve yanına seriyi üreten fonksiyonun yazılması ile gösterilir.Yukarıdaki gösterime göre a’dan b’ye kadar olan değerler için f fonksiyonunun sonuçlarının toplamı kastedilmiştir.
Örneğin aşağıdaki toplamı ele alalım:
Yukarıdaki terim ile 1’den 5’e kadar olan sayılar için 5i fonksiyonunun ürettiği değerlerin toplamı kastedilmiştir. Bu sayılar aşağıda verilmiştir:
5, 25, 125, 625, 3125
Bu sayıların toplamı 3905 yapmaktadır ve yukarıdaki denklemin çözümü olarak 3905 sonucu doğrudur.
Yukarıdai bu üssel fonksiyon ile elde edilen toplam ifadesi aslında ayrık zamanlardaki (discrete time) serinin birikmesini (cumulative) vermektedir.
Yani yukarıdaki sayıları grafikte çizecek olursak:
Yukarıdaki şekilde bir grafik elde etmiş oluruz. Bu grafikteki serinin her değerinin toplamı aslında toplam sembolünde bulunan değerdir.
Yukarıdaki bu fonksiyon hareketini aşağıdaki şekilde düşünmek ve her sayı sonucu için anlık değerleri görmek mümkündür:
İşte toplamlar konusunda kastedilen bu değerlerin toplamıdır. Yani aslında integral hesabına benzer bir şekilde grafiğin altında kalan alan olarak düşünülebilir. Tek farkı grafiğin altında kalan alan sürekli bir grafik olmadığı için anlık değerlerin toplamından oluşmaktadır. Yani integral olarak aşağıdaki terimi ele alsaydık:
Bu terim ile ifade edilen değer bir önceki toplam gösterimi ile ifade edilen değerle aslında aynıdır. Tek farkı integralin süreli bir fonksiyon üzerinde çalışmasıdır. Yani örneğin 3.5 sayısı bizim toplam değerimizde tanımsızdır ancak integral bu değeri de hesaba katar. Bu süreklilik (continous) ve kesiklilik (discrete) aşağıdaki şekilde görülmektedir:
Yukarıdaki şekilde mavi noktalar kesikli olarak gösterilmektedir. Siyah çizgi ise sürekli olan üssel fonksiyonu göstermektedir. Aynı fonksiyon şayet kesikli (discrete) olarak ele alınırsa sadece mavi noktalar bulunur. Ancak fonksiyon sürekli olarak ele alınırsa bu durumda da siyah çizgideki fonksiyon grafiği ortaya çıkar.
Toplam ile integral arasındaki farkta bu noktada anlaşılmaktadır. Yani integral siyah çizginin altındaki ve x-ekseni ile arasında kalan alanı hesaplarken toplam, her mavi nokta için anlık olarak değerlerin toplamını hesaplamaktadır.