Doğrudan İspat (Direct Proofing)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimlerinin pekçok alanında da kullanılan ispat yöntemlerinden en basitidir. Bu yönteme göre ispatlanmak istenen durum genelde p->q şeklinde bir önermenin (kaziye) ispatının diğer bir önermeyi (kaziyeyi) gerektirdiği bir dizilimdir ve birisinin ispatı diğerini gerektirir.

Örneğin: n sayısı tek sayı ise n²‘nin de tek sayı olduğunu ispatlayalım.

Öncelikle biliyoruz ki bir sayının tek sayı olması 2k+1 şeklinde yazılabilmesidir. Yani 2k+1 formülündeki k yerine hangi tam sayı konulursa konulsun sonuçta elde edilen değer tek sayıdır.

Şimdi n tek sayı ise n için 2k+1 yazılabilir o halde n = 2k+1 -> n² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k) + 1

biliyoruz ki 2k² + 2k bir tam sayıdır ve diyelim ki bu tam sayı ş olsun, ş = 2k² + 2k ise

n² = 2(k²+2k)+1 değeri yerine 2(ş) +1 yazabiliriz. Buradaki ş bir tam sayı olduğuna göre elde edilen n² değerinin tam sayı olduğu gösterilmiş olur çünkü 2ş+1 her zaman tam sayı verir.

Örnekler (ibrahim beyin talebi üzerine ekliyorum)

Yorum kısmında ibrahim bey örnek istemişler bunun üzerine bir iki klasik ve literatürde sık rastlanan örneği burada açıklıyorum. Öncelikle biraz daha kolay anlaşılabilir günlük örneklerle başlayalım. Aristo mantığının da temeli olan basit önermeleri ele alalım.

Örneğin “her sabah güneş doğar” gibi bir kaziyeyi (önermeyi) ele alarak başlıyalım. Bir kişi saatine bakıp 6.00 olduğunu görüyorsa. Saat 6.00 şayet sabah olarak kabul ediliyorsa, öyleyse güneş doğacaktır.

Şayet yukarıdaki zincirde ilk önerme yani “her sabah güneş doğar” önermesi doğruysa ve diğer zincirdeki bağlantılarda doğruysa gerçekten de güneş doğacaktır ve böylelikle güneşin doğacağı ispatlanmış olur.

Yukarıdaki örnekte de görüldüğü üzere doğrudan ispatlarda amaç p -> q , yani p doğruysa q da doğrudur şeklinde bir bağlantı bulabilmektir. Bu bağlantının ardından p ispatlanır yada doğru kabul edilir ve q bu vesileyle ispatlanmış olunur.

Farklı bir örneği ele alalım. Birinci önermemizde (kaziye) iki açının toplamının 90 derece olduğunu söyleyelim (buna p diyelim). İkinci kaziyede ise bu iki açının mütemmim (bütünleyen açılar, tümleyen açılar, complementary) olduğunu söyleyelim. Bu ikinci kaziyeye de q diyelim.

Yukarıdaki sistemde şayet ilk kaziye doğruysa ikincisinin de doğru olması gerekir. Yani doğrudan ispatın gereği olarak p -> q bağlantısı bulunur.  Burada genelde ilk kaziyeye şart (condition) ikinci kaziyeye ise  faraziye (hipotez, varsayım, hypothesis) ismi verilir. Yani tam anlamıyla ikinci kaziyenin doğruluğunu farz etmek için birinci kaziye şarttır.

Yine ibrahim beyin talebine dönecek ve farklı bir örnek çözecek olursak, bu sefer örnek olarak aşağıdaki ispatı ele alalım:

r gibi bir sayının, bir çok terimlinin (polinom) kökü olarak kabul edilebilmesi için p(r) = 0 olması gerekir.

Şimdi ispatını yapmak istediğimiz faraziyeyi ortaya atalım:

Şayet r₁ ve r₂, p(x) = x² + bx +c çok terimlisinin (polynom) ayrı iki köküyse, r₁ +r₂ = -b ve r₁ r₂ = c olduğu söylenebilir.

İspatı:

Öncelikle p(x) çok terimlisini çarpanlarına ayıralım (r₁ ve r₂ birer kök olduğuna göre)

p(x) = (x – r₁) (x – r₂)

sağ tarafta işlem yaparsak

p(x) = x² – (r₁ + r₂) x + r₁ r₂

olarak bulunur. Bu çok terimliyi ilk yazdığımız haldeki çok terimli ile taraf tarafa eşitlersek sonuçta ispatlamak istediğimiz durumun doğruluğu ortaya çıkar

x² – (r₁ + r₂) x + r₁ r₂ = x² + bx +c

dolayısıyla r₁ +r₂ = -b ve r₁ r₂ = c ‘dir denilebilir.

Yuakrıda görüldüğü üzere ispatın yapılabilemesi için r₁ ve r₂, kök olmalıdır. Yani ikinci kaziyenin ispatı için ilki şarttır.