Güç Kümesi (Kuvvet Kümesi, Power Set)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Ayrık matematikte (Discrete Math) kullanılan bir terimdir. Basitçe bir kümenin boş küme de dahil olma üzere bütün altkümelerini içere kümedir.

A² olarak da gösterilir , A kümesinin kuvvet kümesi olarak okunur (bazı kaynaklarda güç kümesi olarak da geçer)

A = {a, b} ise 2 ^{{a, b}}= {{a, b}, {a}, {b}, Ø} olarak gösterilir.

Yukarıdaki tanımdan da çıkarılabileceği üzere n elemanlı bir kümenin güç kümesinde 2ⁿ eleman bulunur.

Örnek

Boş kümenin, güç kümesi nedir. Bu soruyu cevaplamak için boş kümeyi nasıl kabul edeceğimize bakmamız gerekir. Şayet boş küme bir eleman olarak kabul ediliyorsa (boşlukta bir varlıktır diye başlayan varlık felsefesine atfen) bu durumda

A = {Ø} için güç kümesi = { Ø , {Ø} } olarak bulunacaktır. (1 elemanlı kümenin 2 elemanlı güç kümesi inşa edilmiştir 2¹ = 2 )

Şayet boş küme boşluk olarak kabul edilirse bu durumda A = {Ø} = { Ø } olarak tek elemanlı sonuç bulunur. (0 elemanlı kümenin 1 elemanlı güç kümesi inşa edilmiştir 2⁰ = 1 )

Ayrık matematik açısından ilk tanım doğru kabul edilmektedir ancak literatürde ikinci kabule de rastlanmaktadır. Dolayısıyla bu yazıda taraf tutulmaksızın iki durum da verilmiştir.

Burali-Forti Paradox ( Burali-Forti Açmazı)

Tüm kümelerin kümesine T diyelim. T‘nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye (power set) de A diyelim. |A| ile A kümesinin eleman sayısını ve |T| ile de T kümesinin eleman sayısını ifade edecek olursak.

Biliyoruz ki: |A| > |T| olmalıdır, çünkü 2^m > m

Fakat T tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor, dolayısıyla |A| > |T| koşulu nedeniyle, A kümesi tüm kümlerin kümesinden de büyük bir küme olmalıdır.

Yukarıdaki paradoksun çözümü modern küme teorisinde bütün kümeleri ifade eden bir küme tanımlanmasına izin verilmeyerek çözümlüştür.