Fourier Dönüşümü

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimlerinin de üzerine kurulduğu matematik alanında, bir fonksiyonun, frekans alanı (frequency domain) diye isimlendirilen bir alanda, farklı bir fonksiyona dönüştürülmesinin ismidir. Bilgisayar bilimlerinde genelde kesikli matematik teorisine ihtiyaç duyulduğu için bu dönüşümün kesikli olanı kullanılır. Ayrıca sürekli dönüşüm yapılması da mümkündür.

Kesikli fourirer dönüşümü esas olarak bir sinayli, bir dalga fonksiyonunu yada herhangi bir matematiksel gösterimi zaman alanından (time domain), frekans alanına (frequency domain) çevirmeye yarar.

Bu tanımdaki iki önemli unsur, zaman alanı ve frekans alanı ile neyin kastedildiğidir.

Yukarıdaki temsili resimde görülen fonksiyon, zaman alanında tanımlı olan bir fonksiyondur.

Bu fonksiyon üzerinde farklı zamanlardaki bilgileri okuyacak olursak:

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere 4 farklı zamandaki fonksiyon değerlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

f(t₁) = d (t-t₁)

f(t₂) = d (t-t₂)

f(t₃) = d (t-t₃)

f(t₄) = d (t-t₄)

Aslında bu sayıları daha da ilerleterek bütün fonksiyonu veren değer aşağıdaki şekilde yazılabilir:

∑ f(t_n) d (t-t_n)

Görüldüğü üzere bu şekilde görülen veya herhangi bir f fonksiyonu için kesikli olarak yukarıdaki tanımı yapmak mümkündür. Kısaca fonksiyonun bütün noktalardaki tanımlı olduğu değerler ve zamandaki değişim ile çarpımıdır. Elbette basit matematikten bildiğimiz üzere, burada yazılan tanımda, kesikli bir yaklaşım izlenmiş ve alan hesabı sırasında karelerin alanları hesaplanarak toplanmıştır. Aynı durum sürekli hesaplama gerektiğinde integral alarak yapılır:

∫ f(t_n) d (t-t_n)

Fonksiyonun tanımının sürekli (continous) veya kesik (discrete) olmasından bağımsız olarak, yukarıdaki tanım itibariyle fonksiyonu zaman alanında (time domain) tanımladık ve zamana bağlı olan bu fonksiyonumuzu, zamandaki değişimler ve fonksiyondaki değişimler şeklinde yazdık.

Bir fonksiyonun zaman alanında farklı gösterimleri de olabilir. Örneğin öyler (euler) gösterimine göre bir fonksiyon belirli bir büyüklük (magnitude) ve üssel değer (exponential) oluşmaktadır. Bu değer aynı zamanda karmaşık sayı (complex number) olarak yazılabilir. Bu karmaşık sayı yazımı sırasında çarpanları trigonometrik ifadelerdir. Bu durumun detayı için kutupsal gösterim (polar coordinate) başlıklı yazıyı okuyabilirsiniz.

Aynı fonksiyon bu duruma aşağıdaki şekilde yazılabilecektir:

M e^iw = Acos w + B i sin w

Buradaki M, fonksiyonun büyüklüğünü (magnitude) e^iw terimi üssel değeri göstermektedir ve açılımındaki karmaşık sayı ise kutupsal gösterimi ifade etmektedir.

Bu gösterimi zamana bağlı bir fonksiyona uygulayacak olursak:

M e^iwt = Acos wt + B i sin wt

Verilen t zamanı için fonksiyon değeri yukarıdaki şekilde bulunur.

Bunu hayal etmek belki ilk başta kolay olmayabilir. Daha güzel anlayabilmek için aşağıdaki şekilden faydalanalım:

Yukarıdaki şekilde 4 farklı dalga görülmektedir. Örneğin mavi ve kırmızı dalgaların iki ayrı genlikteki (amplitude) sin ve cos dalgaları olarak düşünürsek yukarıdaki formülümüz için:

Acos wt + B i sin wt

Denklemini verekn farklı w, A ve B kombinasyonları aşağıdaki şekilde sıralanabilir:

w = w₁ A₁ B₁

w = w₂ A₂ B₂

w = w₃ A₃ B₃

Artık fonksiyonumuzun tanımını yukarıdaki değerleri veren formüllerin toplamı olarak tanımlayabiliriz. Yani fonksiyonumuz, fonksiyonumuz ile uyuşan sinüs ve kosinüs dalgalarının (ki bu dalgalar farklı genliklerde olacaklardır) birleşimi halinde düşünülebilir.

∑ w_n A_n B_n

Bu tanımda görüldüğü üzere fonksiyonumuzu, zamana bağlı olmayan bir şekilde yazabiliriz.

Diğer bir tanımla, bir fonkisyon sinüs dalgalarının toplamı olarak düşünülebilir.

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere, fonksiyon bir gerçek (real) bir de hayali (imaginary) kısımdan oluşmakta ve bu değerler birer frekans olarak temsil edilmektedir.

Yukarıdaki bu anlık frekans gösterimini, zamana bağlı eksenlerden çıkararak, fonksiyon tanımında olan omegaya ( w ) bağlı hale geçirecek olursak:

Yukarıdaki el ile çizilen temsili resimde görüldüğü üzere, herhangi bir andaki sinüs ve kosinüs dalgaları arasındaki değerler birbirine bağıl olarak çizilmiştir. Buradaki temel fark, artık eksenin zaman değil frekans göstermesidir.

Yukarıdaki bu dönüşümün ardından, fonksiyonumuzu tanımlayan toplamı yazabiliriz. Bu toplamı bir önceki adımda aşağıdaki şekilde göstermiştik:

∑ w_n A_n B_n

Bu terimin açılımı trigonometrik olarak,

∑ A_n cos w_n + B_n i sin w_n

şeklinde yazılabilir. Burada n’e bağlı olan gösterim aslında zamana bağlı olarak değişen örneklemelerin toplamıdır:

∑ A_t cos wt + B_t i sin wt

Bu terimi daha önceden euler teorisine bağlı olarak bir büyüklük ve üssel fonksiyon cinsinden yazdığımızı hatırlarsak:

M e^iw = Acos w + B i sin w

Aşağıdaki son halini verebiliriz:

∑ M _t e^iwt

Buradaki büyüklük değeri, zamana bağlı bir fonksiyondur. Yani aslında bizim anlık bir değer için aldığımız, fonksiyon büyüklüğünün frekans alanına çevrimi, aslında dönüşümünü aradığımız fonksiyondur.

F(w) = ∑ f(t) e^iwt

Yukarıdaki kesikli zamanda gösterilen fonksiyonu sürekli zamana çevirirsek:

F(w) = ∫ f(t) e^iwt dt

Olarak yazılabilir.

Yukarıdaki frekans terimini (w), k gibi bir değişkene bağlı şekilde yazabiliriz.

Buradaki k değişkeni fonksiyon üzerinden alınan her bir örneği göstermektedir. Toplam N adet örnekleme için yapılan işlemde frekans terimi π’ye bağlı olarak gösterilmiştir. Bu dönüşümü trigonometrik fonksiyonun radyan cinsinden yazılması olarak düşünebiliriz. (180 derece = π radian olduğunu hatırlayınız)

Yukarıdaki şekilde ayrıca dönüşümün ters hali, yani frekans alanından zaman alanına dönüşüm de gösterilmiştir. Yukarıdaki şekilde ikinci satırda olan bu dönüşüm zaman alanındaki n. terimi bulmak için kullanılabilir.