Yazan : Şadi Evren ŞEKER
Matematikte halka (ring) olarak geçen konu, bilgisayar bilimleri dahil pek çok bilimi yakından ilgilendirmektedir. Bu yazıda bilgisayar bilimlerindeki uygulamalarından çok konunun özü anlatılacaktır ancak site üzerinde ilgili yazılar ileride yayınlanacaktır.
Halkaların tarihsel olarak ilk çıkışı, Fermat’nın son teoreminin (Fermat’s Last Theorem) ispatı sırasında gündeme gelmiştir.
Halkalar en basit tanımla bir cebirsel kümedir ve üzerinde ikili işlemler (binary operations) tanımlıdır. En kolay kullanılan ikili işlemler, toplama veya çarpma gibi işlemlerdir.
Bu ikili işlemler zenginleştirilebilir ancak aşağıdaki özellikleri taşıması gerekir:
- Birleşme özelliği (associativity)
- Yer değişme özelliği(commutativity)
- Dağılma özelliği (Distribution)
- Tersi olma özelliği (additive inverse)
-
Toplamaya göre birim değer (additive identity)
Yukarıdaki özellikleri taşıyan en basit halkalar tam sayılar kümesindeki (Z) sayılardır.
Ayrıca herhangi bir modüler tabandaki tam sayıyı da kolaylıkla halka olarak düşünebilriz.
Örneğin Z6 veya mod 6 olarka ifade edilen sayıları ele alalım:
{0,1,2,3,4,5}
sayıları üzerinde bir toplama işlemi tanımlıdır ve Z6 üzerindeki toplamaların tamamı yine Z6 üzerinde tanımlıdır. Benzer durum çarpma için de doğrudur.
Örneğin 2+6 = 8 = 2 mod 6 veya 3*5 = 16 = 4 mod 6 olduğu görülebilir.
Bu işlemlerin tamamını bir tablo üzerinde göstermemiz mümkündür:
Toplam tablosu:
+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Çarpım Tablosu:
x 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 Z6 üzerinde tanımlı olan toplama işleminin tersi olması hasebiyle (çıkarma – ) bir abelyen grup (abelian group) olarak kabul edilebilir.
Aynı zamanda, çarpma işlemindeki 1 değerini ele alırsak ve bu değerin çarpma işleminde önce veya sonra olması halinde sonucun değişmemesi göz önüne alınırsa ( 1xn = nx1 ) bu grubun monoid grup olduğunu da söyleyebiliriz.
Ayrıca halkaların özel bazı durumlarını yukarıdaki örnekte görmek mümkündür. Örneğin 0 sayısını ele alalım. Bu sayının köklerine bakıldığında, ya çarpanlardan birsinin 0 olması gerekir ya da :
0 = 3 x 4 veya 0 = 2 x 3 olduğunu görebiliriz. Bu durumda 0’ın kökleri {(3,4) , ( 2,3), (0,n) } şeklindeki küme olacaktır. (yer değiştirme özelliğinden dolayı bu ilişkilerin tersinin de bu özelliği sağladığını söyleyebiliriz). Bu tanımı özel olarak ilerletir ve çarpanlarından birisi 0 olan kökleri almazsak kümemiz {(3,4) , (2,3)} şeklini alacaktır. Bunun sebebi 0 sayısının tanımının bu çarpanlarla yapılabileceğidir. Yani 0 sayısını, 0 sayısı kullanmadan tanımlamak istediğimizde 3×4 veya 2×3 şeklinde yazmamız gerekir. Örneğin 0 = 1×0 tanımı, kendini tekrarlayan ve tnaımın içerisinde yine 0 bulunduran bir yapıdadır.
Alt Halka (Subring)
Bir halka tarafınan içerilen ve aynı özellikleri kullanarak yine halka olma özelliği taşıyan alt gruplara (subgroup) verilen isimdir.
Örneğin tam sayılar kümesinin halka olma özelliği bulunmaktadır ve yukarıdaki Z6 kümesi, bu halkanın bır alt haklasıdır (sub ring)