Kuantum Kapıları (Quantum Gates)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Kuantum kapıları, mantıksal devre tasarımında bulunan klasik kapılara alternatiftir. Amaç, elektronik devrelerin karar mekanizmasında quantum teknolojisini kullanmaktır.

Klasik kapılarda bulunan ve bitlere göre karar vermeye yarayan mekanizmadan farklı olarak kuantum kapılarında, kubitler (qubits) üzerinden karar verilir. Kuantum kapılarının bir özelliği, geri döndürülebilir olmalarıdır (reversible), yani bir girdi için elde edilen sonuç, sonuçtan girdi olarak verildiğinde, girdi geri elde edilebilir.

Bir mantıksal kapının geri döndürülebilir olması, kapının girdisinden elde edilen çıktının tekrar girdi olması halinde, ilk girdinin geri elde edilebilmesidir. Bu karmaşık cümle ile anlatılmak istenen örneğin L kapısı için L(x) = y gibi bir sonuç alınıyorsa, bu kapının tersi olan L’ için L'(y) = x sonucunun alınması beklenir. Veya kapının kendisinin ters olması halinde de L(x) = y ve L(y) = x şartlarının aynı anda sağlanması beklenir.

Örneğin klasik değil kapısı (not gate) geri döndürülebilir kapıdır (reversable). Bunu doğruluk çizelgesine (truth table) bakarak kolayca görebiliriz.

Görüldüğü üzere L(1) = 0 ve L(0)=1 olmakta, dolayısıyla tersi alınabilir bir kapı olmaktadır.

Buna karşılık, geri döndürülebilirlik (reversible) konusunun daha iyi anlaşılabilmesi için, geri döndürülemez bir kapı olan veya kapısını inceleyelim.

Yukarıdaki doğruluk çizelgesinde (truth table) görüldüğü üzere, herhangi bir çıktının, girdiye verilmesi durumunda, girdinin geri elde edilmesi mümkün değildir. Örneğin L(10) = 1 olmakta ama L(1) = 10 olmamaktadır.

Aynı zamanda herhangi bir L’ devresi de yukarıdaki tablonun tersini üretemez. Bunun sebebi, 1 çıktısının 01, 10 veya 11 şeklinde geri döndürülme ihtimali olduğu ve 1 çıktısı alındıktan sonra, orijinal girdinin ne olduğunun tahmininin imkânsız olduğudur.

Ve kapısı örneğini ele alarak, bir kapının geri döndürülebilir olması için giriş ve çıkış bitlerinin sayısının aynı olması gerektiğini tahmin edebilirsiniz. Aslında bu durum basitçe güvercin yuvası kaidesi (pigeonholde principle) ile açıklanabilir ve evet bir kapının geri döndürülebilir olması için giriş biti sayısı ile çıkış biti sayısı eşit olmalıdır.

Şayet giriş bitlerinin sayısı ile çıkış bitlerinin sayısı eşit ise, kapının karakterini, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi doğruluk çizelgesi (truth table) şeklinde klasik gösterimden farklı olarak gösterebiliriz. Aslında kuantum kapıları (quantum Gates) için vaz geçilmez olan bu gösterim matris gösterimidir.

Örneğin değil kapısını (not gate) ele alalım ve matriste göstermeye çalışalım.

	0	1
0	0	1
1	1	0

Yukarıdaki matris, okunması kolay olsun diye bir satır (en üstteki) ve bir sütun (en soldaki) eklenerek verilmiştir. Bu matriste, satırlar, girdiyi, sütunlar ise çıktıyı tutmaktadır. Yani tablomuzu aşağıdaki şekilde yorumlayabiliriz

	0	1
0	0 girdisi için, 0 çıktısı alınabilir mi?	0 girdisi için, 1 çıktısı alınabilir mi?
1	1 girdisi için 0 çıktısı alınabilir mi?	1 girdisi için 1 çıktısı alınabilir mi?

Yukarıdaki bu sorulara evet veya hayır cevaplarını vererek evet için 1 ve hayır için 0 yerleştiriyoruz. Örneğin değil kapısı (not gate) 0 için 1 sonucu verir ve 0 için 0 sonucu vermez. Dolayısıyla yukarıdaki doğruluk çizelgesinin matris gösterimini aşağıdaki şekilde yapmak yeterlidir.

0	1
1	0

Yukarıdaki bu matrise bakıldığı zaman, bu matrisin doğruluk çizelgesi (truth table) kolaylıkla anlaşılabilir.

Matris gösteriminin kuantum kapıları için kullanılması durumunda, aslında qubit değerlerinin matrise yerleştirilmesinden bahsediliyor demektir.

Örneğin, α|0> + β|1> şeklinde yazılan bir kubit gösterimini vektör olarak modellemek istersek

α

β

Şeklinde bir vektör elde edebiliriz. Bu vektörü değil kapısı (not gate) için girdi ve çıktı olarak modellediğimizde, bir qubit için durum aşağıdaki şekilde olur:

Görüldüğü üzere, kubitin tersi alınmıştır. Burada dikkat edilecek bir husus, matriste kullanılan α ve β değerlerinin karmaşık sayılar (complex numbers) olduğudur.

Kuantum Kapılarının bir özelliği, bu kapılarda kullanılan matrisin, vahid masfuf (uniter matrix) olmasıdır.

Çok Kullanılan Kuantum Kapıları

Bu bölümde, kuantum kapılarından çok kullanılanlarını anlatacağız. Teorik olarak sonsuz sayıda kuantum kapısı üretilebilir. Ancak buradaki amaç özellikleri bakımından önemli görülen ve literatürde sıkça rastlananları açıklamaktır.

Hadamard Kapısı

Hadamard kapıları, tek kubitli bir sistemde, aşağıdaki dönüşümleri yaparlar.

|0> değerini olarak

|1> değerini ise olarak dönüştürür.

Bu durumda, hadamard kapısının matrisi aşağıdaki şekilde olacaktır:

Hadamard kapılarının ismi, bu kapılar için kullanılan matrisin bir hadamard matrisi (hadamard matrix) olmasından gelmektedir.

Aslında hadamard matrislerini, değil kapılrının (not gate) karekökü olarak düşünmek de mümkündür. Görüldüğü üzere, elde edilen sonuç bir vahid masfuftur (uniter matrix)

Pauli X kapısı

Pauli X kapıları, kalsik değil kapısının (not gate), kuantum için uyarlanmış halidir. Yani yazının başında anlatılan ve girişi tersine döndürmeye yarayan kapılar olarak düşünülebilir. Bu durumda matrisi aşağıdaki şekilde olacaktır.

Aslında bu kapının özelliği Bloch Küresini (Bloch Sphere) X ekseni etrafında pi radyan kadar döndürmesi ve |0> değerini |1> ve |1> değerini |0> yapmasıdır.

Pauli Y kapısı

Pauli X kapısına benzer olarak bu kapı da Bloch Küresi (Bloch Sphere) üzerinde döndürme işlemi yapmaktadır. Ancak bir önceki kapıdan farklı olarak bu defa Y ekseni üzerinde döndürme işlemi yapılır.

Pauli Z kapısı

Pauli X ve Y kapılarına benzer şekilde Bloch Küresi üzerinde döndürme işlemi yapılır. Bu defa isminden de anlaşılacağı üzere döndürme işlemi Z ekseni üzerinde olur.

Faz kaydırma kapısı (Phase shift gate)

Bu kapının özelliği, 00, 01 ve 10 için değişiklik yapmamak ama 11 durumu için |1> girdisinin e^{i ϴ}|1> girdisine dönüştürmesidir. Yani |1> için, ϴ derece döndürme işlemi yapılmaktadır.