Seriler (Sequences)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Seriler, kısaca aşağıdaki özellikleri taşıyan sayı kümesidir:

1. Bir serinin başlangıç değeri bulunmalıdır
2. Bir serideki sayılar arasında aritmetik bir bağlantı bulunmalıdır.
3. Bir serinin bitiş değeri bulunmalıdır.

Yukarıdaki üç şartı sağlayan sayı kümesine seri (sequence) ismi verilir. Yukarıdaki maddelerden üçüncüsü matematiksel olarak her zaman gerekmez. Örneğin sonsuza giden seriler olabilir ancak bilgisayar bilimleri açısından gerek hafızanın sınırlı olması gerek tanımlı olan verinin limitinin bulunması açısından her zaman gerekir denilebilir.

Örneğin aşağıdaki sayı serisini ele alalım:

n= {1,2,3 … 100 }

a_n = 1/n

Bu tanıma göre sayı serimiz aşağıdaki şekildedir:

1, 1/2 , /1/3 , 1/4 … , 1/100

Görüldüğü üzere serimizdeki başlangıç değeri n=1 ve bitiş değeri n=100 olarak tanımlanmıştır. Ayrıca serideki sayılar arasındaki bağlantıyı veren formül n = 1/n ile tanımlanmıştır.

Buradaki bağlantı formülü herhangi bir fonksiyon olabilir.

Üssel Seriler (Exponential Sequences)

Bir seriyi oluşturan fonksiyonun üssel bir fonksiyon olması durumunda seriye üssel seri (exponential sequence) ismi verilir.

Örneğin aşağıdaki seriyi ele alalım:

n = { 1, 2 , 3 ,4 ,5}

a_n = 5ⁿ

olarak tanımlı olsun. Bu serideki elemanlar aşağıda verilmiştir:

5, 25, 125, 625, 3125

Görüldüğü üzere serideki elemanlar arasındaki artış miktarı artarak artmaktadır.

Bu artıştaki artış yukarıdaki şekilde görülmektedir.

Doğrusal Seriler (Linear Sequence)

Benzer şekilde bir serideki artış miktarı sabit kalıyorsa bu seriye doğrusal seri (linear sequence) ismi verilir.

Örneğin aşağıdaki seri doğrusal bir seridir:

n = { 1, 2 , 3 ,4 ,5}

a_n = 5n

Bu serideki sayları bulursak:

5, 10, 15, 20, 25

Yukarıdai sayıların arasındaki artış miktarı sabittir dolayısıyla yukarıdaki seri için doğrusal seri denilebilir.

Doğrusal serilerin bir özelliğide serideki sayıların kartezyen uzayda (cartesian space) işaretlenmesi durumunda aynı doğru üzerinde çıkmalarıdır. Aslında doğrusal serileri üreten fonksiyon da doğrusal bir fonksiyondur.

Dalgalı Seriler (Oscilating Sequences)

Bir serinin berlirli bir zamanda turunu tamamlayıp başladığı yerden devam etmesi halidir. Örneğin aşağıdaki basit seriyi ele alalım:

a_n = -1ⁿ

Yukarıdaki fonksiyondan üretilen serinin sayıları aşağıda verilmiştir:

-1,1,-1,1,-1,1…

Görüldüğü üzere serideki sayılar -1 ve 1 arasında dalgalanmaktadır.

Bütün sinüzoidal fonksiyonlar (sinusoid functions) bu gruptan düşünülebilir. Yani bilindiği üzere sinüs (ve tersi olarak kosinüs) fonksiyonları dalgalı fonksiyonlardır (derece cinsinden 360 derece bir başladıkları noktaya dönerler) dolayısıyla bu trigonometrik fonksiyonların ürettiği seriler de dalgalı seri olmaktadır.