İstikra ile ispat (Tüme varım, Proof by Induction)

Yazan: Åžadi Evren ÅžEKER

Bir kaziyeyi (önerme) ispat ederek nazariye (teorem) elde etme yöntemidir. İstikra cüz’îler (tikeller) den küllî
(tümel) ye gitme yöntemidir dolayısıyla örneklerden yola çıkarak her zaman için geçerli bir sonuç elde ederek ispat yapılır.

Her istikra için bir esas(basis) bir de istikra(induction) safhası(step) bulunur.  Bu iki safhanın ispatı bütün durumların ispatı demektir. Çünkü isikra edilen herşeyin dayanacağı bir esas bulunmalıdır.

Bu durum şöyle bir örnek ile de ifade edilebilir örneğin iki ayaklı bir sandalyenin ayakta durabilmesi için başka bir iki ayaklı sandalyeye dayanması gerekir, onunda ayakta durması için bir diğerine ve böylece bütün sandalyelerin bir diğerine dayanaması gerekir. En başta ise bir adet 4 ayaklı sandalyeye ihtiyaç vardır ki bütün birbirine dayanan sandalyeler gelip bu sandalyeye dayansın. İşte şayet en başta bulunan bu 4 ayaklı sandalye yanı esas safhası (basis step) ispat edilirse ve her sandalyeninde birbirine dayanarak ayakta duracağı yani istikra safhası (induction step) ispat edilirse istenilen sayıdaki sandalyenin ayakta durabileceği ispatlanmış olur.

Daha sayısal bir örnek için 0’dan n’e kadar olan sayıların toplamının (n * (n + 1) ) / 2 olduÄŸunu ıspatlayalım.

bu ispattaki esas safhamız (basis step)  n = 1 durumu olsun ve bu durumda (1 * ( 1 + 1) ) / 2 = 2/ 2 = 1 olarak denklemimizin doğru çalıştığını gösterebiliriz.

istikra safhamız (induction step) ise n + 1 için olan durum olmalıdır. Bu durum da  ( ( n + 1) * ( (n  + 1) + 1)) / 2 olur. daha sade bir şekilde ( ( n + 1 ) * ( n + 2) )  / 2 yazılabilir.

şayet istikra safhamızı ispatlayabilirsek esas safhamızdaki ispata dayandırarak istikra edebiliriz ( bütün durumlar için genelleme yapabiliriz).

şayet n sayının toplamı (n * (n + 1) ) / 2 ise n+1 sayının toplamı da  (n * (n + 1) ) / 2 + ( n + 1) olmalıdır.

isitkra safhasında elde ettiğimiz sonuç da n+1 sayının toplamını vermektedir o halde :

( ( n + 1 ) * ( n + 2) )  / 2 =  (n * (n + 1) ) / 2 + ( n + 1)

eşitliği doğru olmalıdır denilebilir. Bu eşitlik çözülecek olursa sonucun 1= 1 doğruluğu ile ispat edildiği görülür.

Dolayısıyla bir esas alınmış ve ispat edilmiştir. Ayrıca bu esasa bina edilen istikra adımları da ispat edilmiştir. Dolayısıyla bütün pozitif sayılar için doğru sonuç veren bir istikra yapılmıştır.  Bu duruma tam istikra da denilebilir.