Varyans (Variance)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Varyans kavramı aslında olasılıktaki birkaç konuyu birlikte bilmeyi gerektiriyor. Basitçe tanımlamak gerekirse kare sapması (squared deviation) olarak tanımlanabilir. Basit bir örnek üzerinden konuyu anlatmaya çalışalım. Öncelikle sayısal olarak ifade edilebilecek bir rastsal süreç (stochastic process) bulmamız gerekiyor. Burada zar atma örneği oldukça iyi bir örnektir ve 6 yüzü olan zarın her yüzü için bir değer belirleyebiliriz. Buna göre zar atma işleminden sonra gelebilecek sayılar 1,2,3,4,5,6 olabilir.

Şimdi beklenen değeri (Excepted value) hesaplamak için aşağıdaki şekilde önce bütün yüzlerin alabileceği değerleri toplayalım:

1+2+3+4+5+6 = 21 bu değeri 6 farklı ihtimale bölelim : 21 / 6 = 3.5 değeri zar atma işleminin (process) çok fazla tekrarlaması sonucunda elde edilmesi beklenen değerdir. Örneğin bir milyon kere zar atsak ve gelen değerleri toplayıp attığımız zar sayısına bölsek, 3.5 değeri çıkmasını bekleriz.

Şimdi bu zar olayının mutlak sapmasını (absolute deviation) hesaplayalım. Bunun için her değerin ayrı ayrı beklenen değere (expected value) olan uzaklığını hesaplamamız gerekiyor (sapmasını).

|1-3.5| + |2-3.5| +|3-3.5| +|4-3.5| +|5-3.5| +|6-3.5| = 2.5 + 1.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 2.5 = 9 olarak bulunur. Burada mutlak değer alma sebebimiz yaptığımız hesabın mutlak sapma hesabı olmasıdır. Mutlak sapma hesabını tamamlayabilmek için son adımda yine hesabını yaptığımız 6 ihtimale bölmemiz gerekir : 9 / 6 = 1.5 olarak mutlak sapmayı hesaplamış oluruz.

Benzer şekilde kare sapmasını (squared deviation) hesaplamak istersek yukarıda bulduğumuz değerlerin karelerinin 6 ihtimale bölünmesi gerekir:

2.5 ² + 1.5 ² + 0.5 ² + 0.5 ² + 1.5 ² + 2.5 ² = 17.5 / 6 = 2.9 yaklaşık değeri hesaplanır.

Bu hesaplanan değer (kare sapması, squared deviation) aslında literatürde varyans (variance) olarak geçen kavramdır.

Yukarıdaki örnek üzerinden basitleştirerek anlattığımız kavramı aşğıdaki şekilde tanımlamamız mümkündür.

Var(X) = E[(X-μ) ² ].

Yukarıdaki bu formülde görülen E, beklendik değeri (Expected value), X her bir rastsal sürecin (random process) değerini ve μ ise ortalama değeri belirtmektedir. Aslında bu formülde yazılan, yukarıdaki örnekte hesaplanan değerlerden farklı değildir.

Bu eşitlik aşağıdaki adımlarla açılabilir:

Var(X) = E[ X² – 2μX + μ² ]

Var(X) = E[X²] – 2μE[X] +μ²

Var(X) = E[X²] – 2μ² + μ²

Var(X) = E[X²] – μ²

Var(X) = E[X²] – (E[X])²

Ayrıca standart sapma (standard deviation) kavramı, varyansın kareköküdür (veya varyans, standard sapmanın karesidir)