Expected Value (Beklenen değer)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bu yazının amacı, özellikle istatistik ve olasılık konularında sıkça geçen beklenen değer (expected value) kavramını açıklamaktır.

Basitçe bir fonksiyonun (veya olayın) beklenen değeri aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Buradaki E gösterimi ingilizcedeki Expectation kavramının baş harfidir ve beklenen değeri anlatır.

Aslında beklenen değer hesabı basitçe bir ağırlıklı ortalama almaktan ibarettir (weighted average).

Yani herhangi bir x değeri için bu değerin f fonksiyonundaki sonucu ile bu x olayının gerçekleşme olasılığı çarpılmaktadır.

Bunu örneğin yeknesak (tekdüze, uniform) dağılım üzerinden örneklendirecek olursak. Bütün x değerlerinin olasılıkları eşit olacaktır. Bu durumda aslında ağırlıklı ortalama değil doğrudan aritmetik ortalama olarak düşünebiliriz.

Örneğin f(x) = 3x olarak tanımlı olsun. Ayrıca bütün ihtimaller yani evrensel küme, E = {1,2,3,4,5} olarak verilsin. durumda x = {1,4,5} kümesi için aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

şimdi burada bütün olasılıkların değerinin 1/5 olduğunu hatırlayalım çünkü yeknesak dağılım (uniform distribution) kullanılmakta olup her olay için eşit olasılık değeri bulunmaktadır. Evrensel kümede de 5 ihtimal bulunduğuna göre her ihtimal 1/5 olarak hesaplanır.

Olarak beklenen değer (expected value) hesaplanacaktır. Aslında bu değer tam olarak ortalamadır çünkü

f(1) = 3

f(2) = 0 // gerçekleşmemiştir

f(3) = 0 // gerçekleşmemiştir

f(4) = 12

f(5) = 15

değerlerinin ortalaması alınırsa 3 + 12 + 15 = 30 / 6 = 5 değeri bulunur.

Özetleyecek olursak beklenen değer, bir fonksiyonun neticesi ve o fonksiyonun parametresi olan x değerinin gerçekleşme olasılığının çarpımlarının bütün x değerleri için toplamıdır.