Kovaryans ve Korelasyon (Covariance Correlation)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Kovaryans ve Korelasyon için enaz iki değişken gereklidir. Buna göre aşağıdaki girişten sonrabu terimleri tanımlayalım.

x1,x2,…xn ayrık tipte birleşikolasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip rasgele değişkenlerimiz olsun.f(x1,x2,…xn) için u(x1,x2,…xn) ayrık tipte rasgeledeğişkenlerin bir fonksiyonu olsun. Ve bu fonksiyonun beklendikdeğerini yazmaya çalışalım.

Örnek:

Bir kutuda 8 tane top var. Bunlardan

3 tanesinin üzerinde (0,0)

2 tanesinin üzerinde (0,1)

2 tanesinin üzerinde (1,0)

1 tanesinin üzerinde (1,1)sayıları yazıyor. Bir oyuncu bu toplardan birisini seçiyor veseçtiği topun üzerinde yazan sayıların toplamı kadar parakazanıyor. Buna göre oyuncunun oyun için ne kadar paravermesi beklenir?

1. koordinat X1 ile ve 2. koordinatolsun buna göre

olarak hesaplanabilir. Şayet birleşikolasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayacak olursakolarakhesaplanır. Beklendik değer ise u fonksiyonunu kullanarak aşağıdakişekilde hesaplanabilir:

olur.

Bu birden fazla değişkene sahip ufonksiyonu için Ortalama değer, Varyans , Kovaryans veKorelasyon değerlerini formülize edelim:

Ortalama Değer

olsun.Beklendik değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

olur.

Varyans:

olarakbulunur.

Kovaryans (Covariance):

olarak adlandırılır. Veolarakgösterilir. Bu değer, iki değişkenin ortalamalarına görebirlikte ne kadar değiştiklerini gösterir.Olarakçarpımı dağıtabiliriz.Olduğuhatırlanırsa kovaryans değeriolarakyazılabilir.

Kovaryans, pozitifse değişkenlerdenikisi de ortalamnın aynı yönünde yer alıyor demektir (ikiside eksi veya ikisi de artı). Şayet kovaryans, eksi değer alıyorsa,değişkenler farklı yönlerde demektir. Eğer iki değişkenbağımsızsa kovaryansları 0’dır. Ispatı şu şekilde yapılabilir:

koşulusağlanıyorsa bağımsızdırlar.

Korelasyon Katsayısı (CorrelationCoefficient)

Eğerstandartsapmaları pozitif iseolacaktırdaha önceki notlara bakılırsaolduğuhatırlanır. Bu bilgiler ışığında bu eşitlik yeniden düzenlenirseolarakda yazılabilir.

Burada korelasyon katsayısı içinolmalıdırve – değerler için kovaryansa benzer şekilde ters yön,+ değerler için ise kovaryansa benzer şekilde aynı yönolduklarını çıkarabiliriz. Kovaryansa benzer şekilde bağımsızdeğişkenler için korelasyon 0 çıkar ancak değeri 0çıkarsa bağımsız değişkenlerdir diyemeyiz (linear olarakbağımsızdırlar diyebiliriz) örneğiniçinkorrelasyon değeri 0 çıkar ama bağımlı değişkenlerdir.

Dolayısıyla, korolasyon birbirlerinebağlılıklarını , Kovariance ise ortalama değerlerin ne kadarsaptığını gösterir.

Korelasyon kullanarak beklendikdeğer hesaplanması:

olduğunuhatırlayalım, şimdi covaryans bilgisinin beklendik değer cinsindenyazalım.Olarakyazılabilir.