Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de için de bulunduğu pek çok mühendislik ve bilim disiplinlerinin kullandığı ispat yöntemlerindendir. Temel olarak mantıktaki istikra (tümevarım) yaklaşımından faydalanır. Basitçe bir eşitliği ispatlamak için, eşitliğin her iki tarafı da birer kere ilerlettirilir (bir sonraki terimler için hesaplanır) şayet bu durum eşitliği bozmuyorsa ve eşitlik bir seri (sequence) […]
Category: Bilgisayar Matematiği
Toplamlar (Summations)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir serinin elemanlarının toplamını ifade etmek için kullanılan matematiksel işlemin ismidir. Basitçe bir seri ve bu serinin (sequence) bütün elemanlarının toplamını bulmak hedeflenir. Matematiksel olarak Σ sembolü ile gösterilir. Toplamlar yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere sigma işaretinin altına başlangıç değeri, üstüne bitiş değeri ve yanına seriyi üreten fonksiyonun yazılması ile gösterilir.Yukarıdaki […]
Seriler (Sequences)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Seriler, kısaca aşağıdaki özellikleri taşıyan sayı kümesidir: Bir serinin başlangıç değeri bulunmalıdır Bir serideki sayılar arasında aritmetik bir bağlantı bulunmalıdır. Bir serinin bitiş değeri bulunmalıdır. Yukarıdaki üç şartı sağlayan sayı kümesine seri (sequence) ismi verilir. Yukarıdaki maddelerden üçüncüsü matematiksel olarak her zaman gerekmez. Örneğin sonsuza giden seriler olabilir ancak bilgisayar […]
Şeklin Eğilmesi (Shearing)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar grafiklerinde bir şeklin herhangi bir eksende eğilmesine verilen işlemdir. Temel şekil değiştirme (Transformation) işlemlerinden birisidir. Aşağıdaki temsili şekilde gösterilmiştir: Yukarıdaki ilk şekilde olan kare, ikinci şekilde gösterildği üzere eğilmiştir. Eğme işlemini aşağıdaki dönüşüm matrisi (transformation matrix) ile yapabiliriz. Yukarıdaki bu dönüşüm matrisini (x,y) kartezyen koordinatlarına sahip temsili bir noktaya […]
Kutupsal Koordinat Sistemi (Polar Coordinates)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Uzayda bir nokta, merkeze (ordinat) göre farklı şekillerde gösterilebilir. Örneğin kartezyen uzay (cartesian space) bu gösterimlerden birsidir. Kartezyen uzay gösterimine göre bir nokta örneğin 2 boyutlu uzayda x ve y eksenlerindeki merkeze uzaklık cinsinden gösterilebilir. Yukarıda, kartezyen uzaya göre x ve y eksenindeki değerler elde edilmiştir. Örneğin noktamız (2,1) koordinatlarına […]
Yansıma (Reflection)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar grafiklerinde, kartezyen uzayda (cartesian space) bulunan bir noktanın herhangi bir eksene veya doğruya göre yansımasını almak mümkündür. Örneğin aşağıdaki üçgeni ve x eksenine göre yansımasını ele alalım: Yukarıdaki üçgen aslında üçgeni oluşturan 3 noktanın teker teker yansımalarının alınması ve sonuçta elde edilen 3 ayrı yansımış noktanın yeniden üçgen oluşturması […]
Ters Şekil Değiştirme Matrisleri
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar grafiklerinde kullanılan ve bir şeklin değişmesine (transformation) yarayan matrisleri üç grupta toplayabiliriz: İçerik Taşıma işleminin geri alınması Döndürme işleminin geri alınması Ölçekleme işleminin geri alınması Örnek uygulama Taşıma (Translation) Döndürme (Rotation) Ölçekleme (Scaling) Bu üç gruptaki matrislerin aynı zamanda tersini almak da mümkündür. Yani herhangi bir değişim işlemine maruz […]
Homojen Koordinatlarla Şekil Değiştirm
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar grafiklerinde bir şeklin değşitirilmesi aşağıdaki işlemlere indirgenebilir: Taşıma (Translation) Döndürme (Rotation) Ölçekleme (Scaling) Bu işlemlerin hepsi kendisine özgü masfuf (Matris) işlemleri olarak görülebilir. Örneğin taşıma işlemi 2 boyutlu kartezyen uzaydan (cartesian space) bir noktanın verilen x ve y değişimi kadar taşınması demektir. Yukarıdaki şekilde verilen x,y değerlerine sahip nokta […]
Karar Problemi (Decision Problem)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de içinde bulunduğu pek çok bilim ve mühendislik dalını yakından ilgilendiren hesaplanabilirlik teorisi (computability theory) konusundaki problemlerden birisidir. Problemi basitçe tanımlama gerekirse bir koşulun (ki biz buna karar ismini vereceğiz) sağlanıp sağlanamadığını evet-hayır şeklinde ikili olarak (duality) sorgulamaktır. Örneğin x gibi bir sayının ikiye tam bölünüp bölünememesi bir […]
Masfuf (Matris , Matrix)
Yazan : Şadi Evren ŞEKER Eski dilde saf tutmak anlamındaki saf kelimesinden türemiş olan ve saf saf dizilmiş anlamına gelen masfuf. İngilizceden matris (matrix) olarak da Türkçeye sonradan girmiş ve masfuf kelimesi unutulmuştur. Basitçe 2 boyutlu diziler olarak düşünülebilir. Yani satır ve sütün bazında verilerin durduğu bilgi öbekleridir. Bilindiği üzere bilgisayarların hafızasında (Rast gele erişilebilir […]